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La sugerencia que proponíamos en el Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: Vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados, y ya. No. Nosotros somos docentes –docentes de matemática en su momento- y este rasgo debe caracterizar la forma de construir nuestro pensamiento matemático. ¿Qué significa esto? La presencia constante de la meta última de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida y utilizan ese conocimiento matemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos. Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo enseñamos en el aula, además de reflexionar acerca de cómo nuestro conocer limita y condiciona nuestro trabajo docente. De esta forma, integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio.

¿De qué hablamos cuando hablamos de divisibilidad?: Muchos docentes responderían al planteamiento anterior en términos muy simples: de criterios de divisibilidad (por 2, por 3, etc.), de descomposición de un número en factores primos para calcular el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de dos números, y ya. Y todo ello tratado de una forma práctica, reducida a cómo se hacen las cosas, a las reglas correspondientes a cada caso. Sin embargo –y como lo iremos viendo a lo largo de este Cuaderno–, el tema de la divisibilidad se refiere al estudio de los números naturales [en realidad, al de los números enteros, aunque se puede reducir, como en este caso, al de los naturales] desde la perspectiva de su composición multiplicativa, es decir, pensando en que todo número natural siempre puede describirse como producto de varios factores.

¿Qué es la división de números naturales?: De entrada, nos encontramos con una diferencia sustancial con respecto a las tres operaciones anteriores: adición, sustracción y multiplicación. En esos tres casos se trata de una operación aritmética según la cual a cada par de números naturales se le hace corres-ponder otro número natural: su suma, su diferencia (si el primer número del par no es menor que el segundo) o su producto, respectivamente. En el caso de la división de números naturales, no siempre a cada par de nú-meros (dividendo y divisor) se le puede hacer corresponder un solo número natural (cociente): esto sólo ocurre en la división exacta. En el caso más general, se le suele hacer corresponder otro par de números: el cociente y el residuo o resto de la división (Maza, 1991; Vergnaud, 1991). Así, por ejemplo, al par (38, 7) se le hace corresponder el par (5, 3); al par (41, 2), el par (20, 1); al par (15, 23), el par (0, 15); etc. Obsérvese que esta forma general incluye el caso de las divisiones exactas, de residuo 0: al par (24, 6) se le hace corresponder el par (4, 0).

En las líneas que siguen, así como en los sucesivos Cuadernos, vamos a plantearnos algunas cuestiones relativas al desarrollo del pensamiento matemático, de nuestro pensamiento matemático. Pero no se trata de un proyecto abstracto. Esta propuesta nace de las dificultades detectadas en los procesos de formación de nuestros educadores, y va dirigida a los maestros y maestras que vivimos con ilusión y entrega los ideales educativos de Fe y Alegría en el ámbito latinoamericano. Es decir, a los que asumimos como misión educativa “formar a los niños, niñas, jóvenes y adultos de los sectores más empobrecidos […], en valores humanocristianos y con el dominio de las competencias básicas fundamentales, en el marco de la misión de Fe y Alegría como movimiento de Educación Popular, desde la construcción y consolidación de los centros educativos comunitarios”

La propuesta fundamental del eje de pensamiento lógico matemático es la de lograr desarrollar en nuestros docentes y alumnos –constituidos en comunidad el conocer reflexivo asociado a la construcción del conocimiento matemático. Este planteamiento, junto con la consideración de la situación actual de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática en nuestros centros, nos lleva a proponer los siguientes principios orientadores de la acción didáctica en el aula: Enseñar matemática para generar la diversidad. No basta con aceptar la diversidad. Nuestra propuesta didáctica busca, además, generar la diversidad por la vía de la enseñanza de la matemática. ¿Qué significa esto en la práctica? Significa presentar y manejar diversos sistemas de representación de los conceptos matemáticos (por ejemplo, de las fracciones...), distintos procedimientos operativos (por ejemplo, diversas formas de efectuar las operaciones aritméticas, de calcular el máximo común divisor, de sumar fracciones, de calcular la media de un conjunto de datos, de resolver ecuaciones...), diversas vías para resolver un mismo problema, diversas formas de demostrar proposiciones matemáticas... Y también, diversas formas de construir los conocimientos matemáticos en el aula, es decir, diversidad en las estrategias de enseñanza que pueden utilizar los docentes en el aula.

¿Por qué los números?: Pero, primero, ¿por qué la matemática? Podríamos decir que todas las personas, en todas las culturas y en todos los tiempos, han tratado de entender el mundo circundante, con una doble finalidad básica: sobrevivir y trascender a esa realidad. Con el fin de satisfacer esas dos tendencias fundamentales, en todas las culturas se han desarrollado técnicas conducentes a ese propósito. Técnicas que han sido comunicadas “vertical y horizontalmente en el tiempo, a través de la historia, la convivencia y la educación, apoyándose en la memoria y en la actividad de compartir experiencias y conocimientos.”

¿De dónde vienen las fracciones?. Si preguntamos a la gente qué es una fracción, probablemente muchos nos responderán diciendo que: es una parte de un todo. Si precisamos que nos referimos a una fracción en el ámbito de la matemática, quizá la respuesta se extienda a: un par de numeros separados por una raya; y, en seguida, optarán por darnos unos ejemplos: 1/2, 3/4, 1/10, 2/3, y otros similares. La pregunta de por qué se estudian las fracciones en la escuela puede ser aún más comprometedora, incluso para algunos maestros, y probablemente lleve a respuestas que no pasen de: PORQUE ASÍ ESTA DETERMINADO EN LOS PROGRAMAS...o PORQUE SIEMPRE SE HAN ESTUDIADO...o PORQUE SE NECESITA SU CONOCIMIENTO PARA ABORDAR FUTUROS TEMAS ESCOLARES...

El orden de las fracciones: Ordenar fracciones de acuerdo con su valor no es algo complicado. Si éstas vienen dadas en los sistemas de representación decimal, porcentual o punto sobre la recta, el asunto está resuelto: sólo hay que saber ver (puntos sobre la recta) o comparar números enteros (porcentajes) o decimales. Si las fracciones vienen expresadas en cualquier otro sistema, la manera más sencilla de determinar cuál es la mayor de dos dadas es, como ya lo decíamos en el Cuaderno anterior, traducirlas a su expresión decimal y decidir en consecuencia. De todas formas, vamos a explorar algún otro procedimiento –dentro del propio sistema de representación numérico– para el caso de fracciones expresadas en este sistema.